Resumo sobre Álgebra

Álgebra

Ramo da Matemática que trata, entre outras coisas, de equações e funções. É dividida em álgebra clássica e abstrata. A álgebra clássica trata, quase que exclusivamente, de equações e funções envolvendo apenas os números “comuns” (inteiros positivos e negativos, frações e decimais), as quatro operações aritméticas (+, -, x, ÷) e duas operações “especiais”, a potenciação (por exemplo, elevar um número ao quadrado ou ao cubo) e a radiciação (por

exemplo, achar a raiz quadrada de um número). Expressões e equações – Usando esses elementos, são produzidas inúmeras expressões. Um

exemplo das mais simples: x+3, 2y+3z, x²+2x+1 e (w+2)³ (ax+2). Podemos ter também frações algébricas como: 

a³+2b

a+1

Usando também a igualdade e a relação de ordem entre os números (podemos sempre “comparar” dois números), aparecem as equações, como é o caso de x² + 4x + 5 x + 3, e as funções como f (t) 3t - t². A álgebra clássica trata também de outras expressões, equações e funções envolvendo, por exemplo, senos, cossenos, tangentes (que estão ligados a relações entre os lados de triângulos retângulos) e logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a

multiplicação de números grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números. A álgebra está relacionada com todo tipo de problemas ligados ao desenvolvimento de novas tecnologias e produtos – de caixas a foguetes. Um exemplo típico desse uso: determinar qual a caixa de papelão, em forma de “tijolo”, na qual cabe, por exemplo, um litro de sorvete, e para a qual se gasta a menor quantidade possível de material. Se chamarmos as medidas da caixa de x, y e z, chegaremos a duas equações: A 2 (xy + xz + yz) e xyz 1, em que A é a área de papelão a ser gasta. Trabalhando com essas equações é possível descobrir que a caixa ideal é um cubo, de arestas de 10 cm.

Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica® e o Maple®, que solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas. Álgebra abstrata – A partir do trabalho do matemático francês Évariste Galois (1811-1832) sobre equações algébricas, no século XIX, cresceu a ideia de estudar sistemas nos quais “números” e operações não fossem mais os usuais. Nessa direção é que se desenvolveu o que chamamos de álgebra abstrata, que trabalha a partir de estruturas como grupos (com uma única operação, que tem certas propriedades), anéis (com duas operações e bastante parecidos com o que temos nos números inteiros positivos e negativos) e corpos (estruturas parecidas com os números racionais). Desde o fim do século XIX, a álgebra abstrata tem desempenhado um papel de destaque na Matemática, sendo ao mesmo tempo uma ferramenta importante e um instrumento de unificação de suas várias áreas, como a geometria e a teoria dos números. Foi exatamente essa convergência de áreas que permitiu a recente demonstração do famoso Teorema de Fermat, que afirma que não existem valores inteiros que satisfaçam a equação xn + yn zn, se n é um número inteiro maior que 2.